Quelque soit α > 1,  et M > 0 il existe N*, tel que le nombre des nombres premiers bornès entre N, et αN depasse M, à  partir de N > N*

Démonstration :

La limite suivante existe bien, lors  N →∞, puisque    

Alors cette limite égale à  α, lorsque N tend vers l'infinie

Donc Quelque soit ε > 0 ,il existe , tel que:

à  partir de N > ,  Ou bien comme ci-apres :

Et c'est à  partir de N > , Ou bien comme ca:

 

Ajoutons maintenant -  aux toutes les côtées:

On s' en interésse, seulement à l'inégalité gauche:

Mais la côtée droite tend vers l'infinie à  condition qu'il soit:

c à d: , par exemple:

Donc pour  il existe N* tel que:

 ((selon Pierre Dusart  ↑  ))

Et c'est à partir de N > max{6000 , N*}

Tel que  N* va égale à  int( R*) , puisque R* sera la résolution approximativé ((en analyse numerique )) de l'équation suivante:

 

Donc

Quelque soit α > 1,  et M > 0 il existe N*, tel que le nombre des nombres premiers bornès entre N, et αN depasse M, à  partir de N annoté ci-dessous

N > max { 6000 , N*}

Ca y est