·      La résolution de l`équation réduite de

Riccati en fonction des fonctions de Bessel

Résumé :nous démontrons que l`équation réduite de Riccati

se rend a l`équation de Bessel,et vice versa ;Donc on pourra

d`une part résoudre l`équation réduite de Riccati en fonction

des fonctions de Bessel,et d`autre part,on pourra résoudre

l`équation de Besse sans utiliser les fonctions de Bessel

dans un nombre infini des cas particuliers.

On s`intéresse a l`équation réduit de Riccati :

 

Qui se rend à la forme bien connue:

 ;     tel que :     

Lemme1 : soit l`équation :

 

 

Posons :  

Et :  

L`équation devient :

 

 

 

Si on choisit la fonction  de sorte qu`elle fasse :

 

 

Tel que :  

 

L`équation devient :

 

 

 

Tel que la fonction  se donne par la relation

 

Suivante :  

 

·      On commence par l`équation de Bessel :

 

Posons :  ,  l`équation devient :

 

 

Ensuite on applique le lemme1 sur cette équation :

  Pour ça on pose :  , tel que :

 

tel que :   

 

Donc :  

 

 

 

Alors l`équation devient :

 

C`est-à-dire :

 

 

Et si on choisit  , alors l`équation devient :

 

 

 

Cette équation n`est que l`équation réduite de Riccati

Ou` :    ,  et   

Mais on sait que l`équation réduite de Riccati se résout

Dans les cas ou`  :  ,   (selon Liouville)

Donc on sait résoudre l`équation de Bessel sans utiliser

Les fonctions de Bessel dans les cas suivantes :

 

 

 

(*) On peut constater facilement que l`équation réduite

De Riccati se rend a celle de Bessel avec :    ,

Et vice versa, pour cela il suffit de suivre inversement

les étapes précédentes

-De cette façon nous avons pu résoudre l`équation

réduite de Riccati en fonction des fonctions des

Bessel. °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°